Sistema Galileu de Educação Estatística
Tópico: [Autovalores e autovetores]

Definição

O problema dos autovalores tem amplas aplicações na matemática e, em particular, na estatística. A solução deste problema possibilita, dentre outras aplicações:

  1. Estudar propriedades geométricas de objetos que envolvem `A`.

  2. Facilitar cálculos envolvendo `A`.

  3. Construção de bases com boas propriedades.

  4. Compreender algo pelo seu significado físico.

  5. Ampla gama de aplicações na estatística. Na análise multivariada, por exemplo, é um conceito fundamental e aparece na quase totalidade dos métodos multivariados.
Autovalores e autovetores são definidos como segue:

Se `A` é uma matriz quadrada de ordem `n` e se existe um `lambda` para o qual

`A*vec x=lambda*vec x`

com `vec x != vec 0`, o escalar `lambda` é denominado autovalor (valor próprio, valor característico ou raiz característica) e o vetor `vec x` o autovetor (vetor característico) associado a `lambda`.

Considerando a definição, o sistema pode ser reescrito através do sistema homogêneo:

`A*vec x=lambda*vec x quad iff quad A*vec x-lambda*vec x=vec 0 quad iff quad (A-lambda*I)*vec x=vec 0 quad iff quad (lambda*I-A)*vec x=vec 0`

Assim, o sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se:

`det(A-lambda*I)=0`

sendo `det` o determinante. Vê-se que se `A` é de ordem `n` então `p(lambda)=det(A-lambda*I)` é um polinômio de grau `n` em `lambda`, denominado polinômio característico. e a equação `p(lambda)=0` é denominada equação característica de `A`. Os escalares `lambda` que satisfazem essa equação são os autovalores de `A`.

Assim, se `A` é uma matriz quadrada de ordem `n` e `lambda` um escalar, então as afirmações seguintes são equivalentes:
  1. `lambda` é um autovalor de `A`.

  2. `(A-lambda*I)*vec x=vec 0` tem solução não trivial.

  3. `N(A-lambda*I) != {vec 0}`, sendo `N` o espaço nulo.

  4. `A-lambda*I` é uma matriz singular.

  5. `det(A-lambda*I)=0`.

O polinômio característico

Desenvolvido o determinante, obtém-se o polinômio característico em `lambda`:

`p(lambda)=lambda^n+c_1lambda^(n-1)+c_2lambda^(n-2)+ldots+c_n`

Pelo teorema fundamental da álgebra esse polinômio tem exatamente `n` raizes, que podem ser distintas ou repetidas, números reais ou números complexos. Desse modo, a obtenção das raízes do polinômio característico conduz aos autovalores de `A`.

A substituição de cada valor de `lambda` em `(A-lambda*I)*vec x=vec 0` possibilita a obtenção do autovetor `vec x` associado. O conjunto dos autovalores e respectivos autovetores é denominado autoestrutura de `A`.

O conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor `lambda` mais o vetor nulo formam um subespaço denominado autoespaço associado ao autovalor `lambda`. Encontrar uma base para esse subespaço é um problema fundamental neste contexto.

Para obter os autovalores e autovetores associados a `A` pode-se proceder da seguinte forma: 

  1. Obter as raízes `lambda_j` do polinômio característico `det(A-lambda*I)=0`.
  2. Resolver o sistema homogêneo `(A-lambda_j*I)*vec x=0` para cada raiz `lambda_j`, para obtenção dos respectivos autovetores.

A obtenção da solução geral do sistema homogêneo `(A-lambda_j*I)*vec x=0` para cada raiz `lambda_j` possibilita encontrar uma base para o autoespaço associado à `lambda_j`.

Algumas matrizes especiais têm também autovalores especiais:

  1. Matrizes simétricas  têm como autovalores números reais.

  2. Matrizes idempotentes têm autovalores iguais a `0` ou `1`.

  3. Matrizes triangulares têm como autovalores os valores da diagonal.

  4. Matrizes ortogonais têm autovalores iguais a `+-1`.

  5. Matrizes similares têm os mesmos autovalores.

  6. Se `lambda` é autovalor de `A` então `lambda^k` é autovalor de `A^k`.

Propriedades dos autovalores

Algumas quantidades importantes para caracterizar uma matriz quadrada `A`, como o posto, o determinante e o traço estão relacionados com os autovalores. Desse modo, a partir dos autovalores é possível obter um resumo completo das propriedades de `A`. Assim, se `lambda_j, j in 1:n` são os autovalores de `A` então:

  1. `det(A)=lambda_1 xx lambda_2 xx ldots xx lambda_n`, ou o determinante de `A` é igual ao produto dos seus autovalores.

  2. `tr(A)=sum_(j in 1:n)lambda_j`, ou o traço de `A` é igual à soma dos seus autovalores.

  3. `A` é matriz não singular se, e somente se, todos os seus autovalores são diferentes de `0`.

  4. Numa matriz `A` de ordem `n`, se todos os autovalores `lambda_1,lambda_2, ldots, lambda_n` são distintos então o conjunto autovetores `{vec x_1,vec x_2, ldots,vec x_n}` correspondentes forma um conjunto linearmente independente. Desse modo, `{vec x_1,vec x_2, ldots,vec x_n}` pode ser utilizado para compor uma base de um subespaço do `RR^n`.

  5. Os autovalores de `A` e de `A^T` são os mesmos, sendo `A^T` a matriz transposta de `A`.

Matrizes simétricas

As matrizes simétricas correspondem a uma situação particular importante no problema do autovalor. A importância cresce do ponto de vista das aplicações à estatística, pois, nesse contexto, muitas matrizes fundamentais são simétricas.

Embora em situações onde a ordem de `A` é baixa (`n=2` ou `n=3`) seja possível obter os autovalores determinando as raízes do polinômio característico, isso se torna inviável para matrizes de ordem mais elevada e recursos computacionais, que utilizam métodos numéricos especialmente desenvolvidos, podem ser utilizados para essa obtenção.

Se `A` é uma matriz simétrica de valores reais então:

  1. Os autovalores de `A` são todos números reais.

  2. Todos os elementos dos autovetores são reais.

  3. Os autovetores associados a autoespaços distintos são ortogonais.
Como se pode observar, se todos os autovalores são distintos então todos os autovetores são ortogonais e uma matriz ortogonal pode facilmente ser construída pelos autovetores.



Exemplos: Matrizes (Autovalore ...)

Tópicos relacionados: Diagonalização

Referências: [Math-Abundance/2012]   [Santos06b/2006]   [Anton01/2001]   [Leon/1980]