Sistema Galileu de Educação Estatística
Tópico: [Ortogonalidade de vetores]

Vetores ortogonais

O teorema de Pitágoras, geralmente estabelecido para triângulos retângulos no plano, podem ser generalizados para uma dimensão `n` qualquer.

Se o ângulo entre os vetores `vec v` e ` vec u`, ambos do espaço vetorial ` sf V`, for `theta=pi/2` então `cos(theta)=0`. Assim

`(: vec u, vec v :) / (||vec u||xx||vec v||) = 0 iff (: vec u, vec v :) = 0`

ou seja, o produto interno nulo implica num ângulo reto e vice-versa. Desse modo, pode-se dizer que

Dois vetores, `vec v` e `vec u`, pertencentes ao espaço vetorial ` sf V` com produto interno, são vetores ortogonais se, e somente se, seu produto interno é nulo, ou seja, `(: vec u, vec v :)=0`.

Considerando o teorema de Pitágoras, pode-se dizer que

`||vec u+vec v||^2=(: vec u+vec v,vec u+vec v :)=||vec u||^2+||vec v||^2+2 (: vec u, vec v :)`.

e se os vetores são ortogonais então `(: vec u, vec v :) = 0` e tem-se que

`||vec u+vec v||^2=||vec u||^2+||vec v||^2`

que corresponde a uma generalização do teorema de Pitágoras para todo espaço vetorial com produto interno.

Note-se, portanto, que a ortogonalidade é uma propriedade associada a dois vetores. A definição que segue estende-a para um conjunto de vetores.

Um conjunto de vetores `{vec u_1,vec u_2,ldots,vec u_n}` é denominado conjunto ortogonal se todos os vetores são ortogonais dois a dois.

Uma propriedade importante dos conjuntos ortogonais  é que eles são LI. Assim, se `vec u_1,ldots,vec u_m` são vetores ortogonais do `RR^n` então:

  • `S={vec u_1,ldots,vec u_m}` é LI.

  • Se `vec v=sum_(i in 1:m)k_i * vec u_i` então `k_i=((: vec v, vec u_i:))/(|| vec u_i ||^2), i in 1:m`.

Bases ortonormais

Um conjunto ortogonal especial ocorre quando todos os vetores são normalizados. Assim

O conjunto `{vec u_1, vec u_2,ldots,vec u_n}` é um conjunto ortonormal se:

`qquad qquad (: vec u_i,vec u_j :)={(1,"se " i=j),(0,"se " i!=j):} quad qquad i,j in 1:n`

Um conjunto ortonormal importante ocorre quando esses vetores formam uma base para um subespaço.

Uma base é denominada base ortonormal quando todos os vetores que a compõe são ortonormais.

Essas bases facilitam o processo de obtenção dos demais vetores do espaço vetorial. Mais especificamente, facilitam a obtenção de coeficientes para combinações lineares de vetores, que, em outras circunstâncias, envolvem a solução de um sistema de equações lineares.

Se `S={vec u_1,vec u_2,ldots,vec u_n}` é uma base ortonormal e `V` é um espaço vetorial com produto interno, então para todo `vec v in sf V`,

`qquad vec v=(: vec v,vec u_1 :)*vec u_1+(: vec v,vec u_2 :)*vec u_2+ldots+(: vec v,vec u_n :)*vec u_n`

`qquad qquad =k_1*vec u_1+k_2*vec u_2+ldots+k_n*vec u_n`

com

`k_i=(: vec v,vec u_i :)`

e

`||vec v||^2=sum_(i in 1:n) k_i^2`.

Como se pode ver:

`(vec v)_S=(k_1,k_2,ldots,k_n)=((: vec v,vec u_1 :),(: vec v,vec u_2 :),ldots,(: vec v,vec u_n :))`

são as coordenadas de `vec v` em relação à base `S`.

Ortogonalidade no espaço euclidiano

Pela definição de produto interno no espaço euclidiano, a ortogonalidade entre vetores se resume à soma de produtos dos respectivos componentes nula. Assim, nesse espaço:

`vec u,vec v in RR^n` são ortogonais se, e somente se, `quad vec u*vec v=u_1xxv_1+ldots+u_nxxv_n=0`.

Nesse caso, pelo teorema de Pitágoras generalizado,

`sum_(i in 1:n) (u_i+v_i)^2=sum_(i in 1:n) u_i^2+sum_(i in 1:n) v_i^2`

A figura que segue ilustra vetores ortogonais.

agraph
setBorder(30); height=250; width=250;
initPicture(0,4,0,3);axes(0.5,0.5);
marker="arrow";
o=[0,0];u=[2,3];v=[4,0];
dot(u,open,"`quad vec u=vec w_1+vec w_2`",right);
line(o,u);

stroke="red"; dot(v,open,"`quad vec v`",aboveright);
line(o,v);

v=[2,0]; stroke="brown";
line(v,u); text([2.3,1.5],"`vec w_2`");

stroke="green"; strokewidth="3";
dot(v,open,"`vec w_1=text(proj)_(vec u) vec v`",belowright);
line(o,v);
strokewidth="1";arc([1,0],[0.5,0.7]);
text([1,0.5],"`theta`");
text([1.2,-0.3],"`||vec v||cos(theta)`");
endagraph

Subespaços e complementos ortogonais

A ortogonalidade de vetores pode ser estendida a um conjunto de vetores que formam um subespaço. As definições que seguem sistematizam a ideia.

  • Se `sf W_1` e `sf W_2` são subespaços de `sf V` então um vetor `vec w_1 in sf W_1` é ortogonal ao subespaço `sf W_2` se for ortogonal a todos os vetores de `sf W_2`.

  • Se `sf W_1` e `sf W_2` são subespaços e se todo vetor de `sf W_1` for ortogonal a todo vetor de `sf W_2` então `sf W_1` é um subespaço ortogonal ao subespaço `sf W_2` e representa-se por `sf W_2 _|_ sf W_2`.

  • Seja `W` um conjunto não vazio de `sf V`. O conjunto de todos os vetores de `sf V` que são ortogonais a cada vetor de `W` é denominado complemento ortogonal de `sf V` e representado por `sf W^(_|_)` (lido como W perpendicular). Assim:
    `sf W^(_|_)={vec v in sf V: (: vec v, vec w :)=0, AA vec w in W}`

Algumas propriedades básicas dessa definição são descritas a seguir.

Seja `W` um conjunto não vazio de um espaço vetorial `sf V` com produto interno. Então:

  • `sf W^(_|_)` é um subespaço de `sf V`, mesmo que `W` não seja subespaço.

  •  Se `sf W` é um subespaço de `sf V` então o único elemento comum a `sf W` e `sf W^(_|_)` é o vetor nulo.

  • Se `sf W` é um subespaço de `sf V` então `(sf W^(_|_))^(_|_)= sf W`, ou seja, o complemento ortogonal do complemento ortogonal é o próprio subespaço, ou, ainda, `sf W` e `sf W^(_|_)` são complementos ortogonais um do outro.



Exemplos: Vetores (Bases orto ...)

Referências: [Math-Abundance/2012]   [Zani/2009]   [Santos06b/2006]   [Anton01/2001]   [Leon/1980]