Sistema Galileu de Educação Estatística
Lição: [Estruturas experimentais]

Tabela de Conteúdo | Ortogonalidade de estruturas | Balanceamento


Balanceamento diz respeito à precisão com que são realizadas comparações simples entre tratamentos.

Diz-se que um experimento é balanceado se todas as comparações simples têm a mesma precisão, ou seja, se todas elas têm a mesma variância.

Na literatura estatística existe uma terminologia confusa que utiliza o termo balanceamento como tendo o mesmo significado de ortogonalidade. Experimentos podem ser balanceados sem serem ortogonais e ortogonais sem serem balanceados. Muitas vezes as condições de balanceamento e ortogonalidade estão associadas mas não são sinônimos.

A verificação usual de balanceamento considera um fator de tratamento cujos níveis serão comparados (`F`, por exemplo) em relação a um outro fator (`G`, por exemplo), usualmente um fator de unidade. Observe-se também que o balanceamento não é comutativo, isto é, se `F` é balanceado em relação aos níveis de `G` isto não implica que `G` seja balanceado em relação aos níveis de `F`. Em geral, isto não causa grandes problemas porque frequentemente não se está interessado em fazer comparações dos níveis do outro fator.

A condição de balanceamento é estabelecida pela chamada condição de Peirce.

Um fator experimental `F` é balanceado em relação a um fator experimental `G` se para todo par de níveis `(h,f)` de `F` a soma das concorrências ponderadas for constante, isto é, se
`p_(hf)=sum_(g in G)(r_(hg)xxr_(fg))/(r_(+g))=p,AA (h,f)` de `F`
sendo `r_(hg)` e `r_(fg)` o número de unidades de observação para as combinações `(h,g)` e `(f,g)` e `r_(+g)` o número de unidades de observação no nível `g` de `G`.

É evidente por essa definição que se `r_f, f in F` for constante para todo `g in G` o balanceamento estará garantido.

Exemplo 1.

Considere-se o croqui e as observações de um experimento com os fatores `T={S,Q,O}` e `B={I,II,III}`. A tabela que segue mostra o modo como os níveis se combinam e a frequência em cada combinação.

B           O S Q Soma
I O S O Q   `2` `1` `1` `4`
II S O Q O   `2` `1` `1` `4`
III Q S       `0` `1` `1` `2`
          Soma `4` `3` `3` `10`

Pode-se verificar facilmente que:

`p_(OS)=sum_(b in B)(r_(Ob)xxr_(Sb))/(r_(+b))=(2xx1)/4+(2xx1)/4+(0xx1)/2=1`

`p_(OQ)=sum_(b in B)(r_(Ob)xxr_(Qb))/(r_(+b))=(2xx1)/4+(2xx1)/4+(0xx1)/2=1`

`p_(SQ)=sum_(b in B)(r_(Sb)xxr_(Qb))/(r_(+b))=(1xx1)/4+(1xx1)/4+(1xx1)/2=1`

o que indica o balanceamento de `T` em relação à `B`.

Observe-se que o balanceamento não exige número constante de observações: `O` tem `4` observações enquanto que `S` e `Q` têm `3` observações. Os fatores `T` e `B` claramente não são ortogonais, pois diferenças entre níveis de `B` contêm informações sobre `T`.

Exemplo 2.

Considere-se a disposição e as frequências de classes para os tratamentos `T={a,b,c,d}` e o fator de unidade `G={I,II,III,IV}`:

G
        a b c d Soma
I a b c   `1` `1` `1` `0` `3`
II b c d   `0` `1` `1` `1` `3`
III c d a   `1` `0` `1` `1` `3`
IV d a b   `1` `1` `0` `1` `3`
        Soma `3` `3` `3` `3` `12`

Desse modo:

`p_(ab)=sum_(g in G)(r_(ab)xxr_(ab))/(r_(+g))=(1xx1)/3+(0xx1)/3+(1xx0)/3+(1xx1)/3=2/3`

`p_(ac)=sum_(g in G)(r_(ac)xxr_(ac))/(r_(+g))=(1xx1)/3+(0xx1)/3+(1xx1)/3+(1xx0)/3=2/3`

Como se pode verificar, para todos os pares `(t_1,t_2)` a soma das concorrências ponderadas é a constante `2/3`, indicando o balanceamento do fator `T` em relação ao fator `G`. Observe que `T` e `B` não são ortogonais.



Referências: [Silva05/2005]   [Mead/1990]  


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